Lineare Algebra Beispiele

\frac{3 x + y}{x - y} - 3 \div 1 - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y}{x - y} - 3 \div 1 - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Dividiere

3

$3$ durch

1

$1$ .

\frac{3 x + y}{x - y} - 1 \cdot 3 - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y}{x - y} - 1 \cdot 3 - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

\frac{3 x + y}{x - y} - 3 - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y}{x - y} - 3 - \frac{x - 3 y}{x + y}$

\frac{3 x + y}{x - y} - 3 - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y}{x - y} - 3 - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 2

- 3

$- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x - y}{x - y}

$\frac{x - y}{x - y}$ .

\frac{3 x + y}{x - y} - 3 \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y}{x - y} - 3 \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere

- 3

$- 3$ und

\frac{x - y}{x - y}

$\frac{x - y}{x - y}$ .

\frac{3 x + y}{x - y} + \frac{- 3 (x - y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y}{x - y} + \frac{- 3 (x - y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{3 x + y - 3 (x - y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y - 3 (x - y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

\frac{3 x + y - 3 (x - y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y - 3 (x - y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{3 x + y - 3 x - 3 (- y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y - 3 x - 3 (- y)}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 3

$- 3$ .

\frac{3 x + y - 3 x + 3 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{3 x + y - 3 x + 3 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 4.3

Subtrahiere

3 x

$3 x$ von

3 x

$3 x$ .

\frac{y + 0 + 3 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{y + 0 + 3 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 4.4

Addiere

y

$y$ und

0

$0$ .

\frac{y + 3 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{y + 3 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 4.5

Addiere

y

$y$ und

3 y

$3 y$ .

\frac{4 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{4 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

\frac{4 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{4 y}{x - y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 5

\frac{4 y}{x - y}

$\frac{4 y}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x + y}{x + y}

$\frac{x + y}{x + y}$ .

\frac{4 y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{4 y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{x - 3 y}{x + y}$

Schritt 6

- \frac{x - 3 y}{x + y}

$- \frac{x - 3 y}{x + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x - y}{x - y}

$\frac{x - y}{x - y}$ .

\frac{4 y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{x - 3 y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}

$\frac{4 y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{x - 3 y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}$

Schritt 7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

(x - y) (x + y)

$(x - y) (x + y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

1

$1$ multiplizierst.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere

\frac{4 y}{x - y}

$\frac{4 y}{x - y}$ mit

\frac{x + y}{x + y}

$\frac{x + y}{x + y}$ .

\frac{4 y (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{x - 3 y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}

$\frac{4 y (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{x - 3 y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere

\frac{x - 3 y}{x + y}

$\frac{x - 3 y}{x + y}$ mit

\frac{x - y}{x - y}

$\frac{x - y}{x - y}$ .

\frac{4 y (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{(x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{(x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren von

(x - y) (x + y)

$(x - y) (x + y)$ um.

\frac{4 y (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

\frac{4 y (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{4 y (x + y) - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y (x + y) - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{4 y x + 4 y \cdot y - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y \cdot y - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.2

Multipliziere

y

$y$ mit

y

$y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1

Bewege

y

$y$ .

\frac{4 y x + 4 (y \cdot y) - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 (y \cdot y) - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere

y

$y$ mit

y

$y$ .

\frac{4 y x + 4 y^{2} - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

\frac{4 y x + 4 y^{2} - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - (x - 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{4 y x + 4 y^{2} + (- x - (- 3 y)) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} + (- x - (- 3 y)) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{4 y x + 4 y^{2} + (- x + 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} + (- x + 3 y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.5

Multipliziere

(- x + 3 y) (x - y)

$(- x + 3 y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{4 y x + 4 y^{2} - x (x - y) + 3 y (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x (x - y) + 3 y (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{4 y x + 4 y^{2} - x \cdot x - x (- y) + 3 y (x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x \cdot x - x (- y) + 3 y (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{4 y x + 4 y^{2} - x \cdot x - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x \cdot x - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

\frac{4 y x + 4 y^{2} - x \cdot x - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x \cdot x - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.6.1.1

Multipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.6.1.1.1

Bewege

x

$x$ .

\frac{4 y x + 4 y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.1.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} - x (- y) + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + 1 x y + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.4

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + x y + 3 y x + 3 y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + x y + 3 y x + 3 \cdot - 1 y \cdot y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.6

Multipliziere

$y$ mit

$y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.6.1.6.1

Bewege

$y$ .

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + x y + 3 y x + 3 \cdot - 1 (y \cdot y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.6.2

Mutltipliziere

$y$ mit

$y$ .

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + x y + 3 y x + 3 \cdot - 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.1.7

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 1$ .

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + x y + 3 y x - 3 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.2

Addiere

$x y$ und

$3 y x$ .

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Schritt 9.6.2.1

Bewege

$y$ .

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + x y + 3 x y - 3 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.6.2.2

Addiere

$x y$ und

$3 x y$ .

$\frac{4 y x + 4 y^{2} - x^{2} + 4 x y - 3 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.7

Addiere

$4 y x$ und

$4 x y$ .

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Schritt 9.7.1

Bewege

$y$ .

$\frac{4 y^{2} - x^{2} + 4 x y + 4 x y - 3 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.7.2

Addiere

$4 x y$ und

$4 x y$ .

$\frac{4 y^{2} - x^{2} + 8 x y - 3 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 9.8

Subtrahiere

$3 y^{2}$ von

$4 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - x^{2} + 8 x y}{(x + y) (x - y)}$